Diketahui fungsi f(x) = tan3 2x cos 3x. Jika f adalah turunan pertama fungsi f, tentukan nilai f'(π/6)!

Soal

Diketahui fungsi f(x) = tan3 2x cos 3x. Jika f adalah turunan pertama fungsi f, tentukan nilai f'(π/6)!

Jawaban

Diketahui fungsi $f(x) = \tan^3 2x \cos 3x$.

Untuk mencari turunan pertama dari f(x), kita perlu menggunakan aturan rantai (chain rule) dan aturan perkalian (product rule) sebagai berikut:

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx} (\tan^3 2x) \cos 3x + \tan^3 2x \frac{d}{dx} (\cos 3x) \\ &= 3 \tan^2 2x \sec^2 2x \cos 3x - 3 \tan^3 2x \sin 3x \end{aligned}$$

Untuk mencari nilai f'(π/6), kita perlu mengganti nilai x dengan π/6 dalam turunan pertama yang telah kita hitung:

$$\begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 3 \tan^2 \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \sec^2 \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - 3 \tan^3 \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \\ &= 3 \tan^2 \frac{\pi}{3} \sec^2 \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{2} - 3 \tan^3 \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{2} \\ &= 3 \left(\sqrt{3}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} \cdot 0 - 3 \left(\sqrt{3}\right)^3 \cdot 1 \\ &= -9\sqrt{3} \end{aligned}$$

Jadi, nilai dari f'(π/6) adalah $\boxed{-9\sqrt{3}}$.