Tentukan turunan pertama setiap fungsi berikut dengan aturan rantai! y = cosec4 3x

Soal

Tentukan turunan pertama setiap fungsi berikut dengan aturan rantai!

y = cosec4 3x

Jawaban

Diketahui fungsi:

$$y = \csc^4(3x)$$

Untuk menemukan turunan pertama dari fungsi ini dengan aturan rantai, kita pertama-tama menuliskan:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

di mana $u$ adalah fungsi dalam tanda kurung pada $\csc$.

Untuk menghitung turunan pertama dari $u = 3x$, kita menggunakan aturan rantai sederhana:

$$\frac{du}{dx} = 3$$

Sementara itu, untuk menghitung turunan pertama dari $\csc^4(u)$, kita menggunakan aturan rantai dua kali:

$$\begin{aligned} \frac{dy}{du} &= \frac{d}{du}(\csc^4(u)) \\ &= 4\csc^3(u) \cdot \frac{d}{du}(\csc(u)) \\ &= -4\csc^3(u) \cdot \cot(u) \end{aligned}$$

Substitusi nilai $u = 3x$ dan menggabungkan hasil yang diperoleh dari aturan rantai di atas, maka turunan pertama dari fungsi $y = \csc^4(3x)$ adalah:

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ &= -4\csc^3(3x) \cdot \cot(3x) \cdot 3 \\ &= \boxed{-12\cot(3x)\csc^3(3x)} \end{aligned}$$