Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB=3 cm dan TA=6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.

Soal

Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB=3 cm dan TA=6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.

Pembahasan

Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB=3 cm dan TA=6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.

(gunakan sintaks mathjax)

Misalkan E merupakan titik pada TD sehingga BE tegak lurus dengan TD. Dengan demikian, segitiga TEB adalah segitiga siku-siku.

Kita dapat menghitung panjang TE dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TEB:

$$TE^2 = TB^2 - BE^2$$

$$TE^2 = (TA+AB)^2 - BE^2$$

$$TE^2 = (6+3)^2 - (TD-BE)^2$$

$$TE^2 = 81 - (TD-BE)^2$$

Kita juga dapat menghitung panjang BE dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga BEA:

$$BE^2 = BA^2 - EA^2$$

$$BE^2 = 3^2 - (TA-TE)^2$$

$$BE^2 = 9 - (6-TE)^2$$

Diketahui BE = TD - TE, sehingga kita dapat menyelesaikan sistem persamaan di atas:

$$TE^2 = 81 - (TD-BE)^2$$

$$BE^2 = 9 - (6-TE)^2$$

$$BE = TD - TE$$

Substitusikan persamaan terakhir ke dalam persamaan pertama:

$$TE^2 = 81 - (TD-(TD-TE))^2$$

$$TE^2 = 81 - (TE)^2$$

$$2(TE)^2 = 81$$

$$TE = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$$

Substitusikan nilai TE ke dalam persamaan ketiga untuk mendapatkan panjang BE:

$$BE = TD - TE = TD - \frac{9}{\sqrt{2}} \text{ cm}$$

Jadi, jarak antara titik B dan rusuk TD adalah $$BE = TD - \frac{9}{\sqrt{2}} \text{ cm}.$$