Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1) = n(n + 2)!

Soal

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1) = n(n + 2)!

Untuk membuktikan bahwa $3 + 5 + 7 + \cdots + (2n+1) = n(n+2)!$ dengan induksi matematika, pertama-tama kita perlu melakukan basis induksi:

Untuk $n = 1$, kita memiliki:

$$3 = 1(1+2)!$$

Karena persamaan tersebut benar, maka basis induksi terpenuhi.

Selanjutnya, kita akan membuktikan persamaan tersebut untuk $n=k+1$:

$$\begin{aligned} 3 + 5 + 7 + \cdots + (2k+1) + (2k+3) &= k(k+2)! + (2k+3) \\ &= (k+1)(k+3)! \\ &= (k+1)((k+1)+2)! \end{aligned}$$

Dengan demikian, persamaan tersebut juga benar untuk $n=k+1$.

Berdasarkan basis dan langkah induksi, maka persamaan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n$.