Tentukan persamaan garis singgung y=3x²-4x+2 yang sejajar dengan garis g= 2x-y+5=0​

Soal

Tentukan persamaan garis singgung y=3x²-4x+2 yang sejajar dengan garis g= 2x-y+5=0​

Persamaan garis singgung pada titik $(a,f(a))$ dari fungsi $f(x)$ adalah:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

dengan $f'(x)$ adalah turunan fungsi $f(x)$.

Untuk fungsi $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$, kita dapat menghitung turunan fungsi $f(x)$ sebagai berikut:

$$f'(x) = 6x - 4$$

Kemudian, untuk mencari titik-titik potong antara garis singgung dengan garis $g: 2x-y+5=0$, kita dapat menyamakan persamaan garis singgung dengan persamaan garis $g$ sehingga mereka memiliki gradien yang sama, yaitu:

$$f'(a) = \frac{\text{gradien garis } g}{-1} = -2$$

Dengan mensubstitusi nilai turunan fungsi $f(x)$ yang telah dihitung, didapat:

$$6a - 4 = -2 \implies a = \frac{1}{3}$$

Substitusi nilai $a$ ke dalam fungsi $f(x)$, didapat titik potong $(\frac{1}{3}, \frac{11}{3})$.

Maka, persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $g: 2x-y+5=0$ pada titik $(\frac{1}{3}, \frac{11}{3})$ adalah:

$$y - \frac{11}{3} = -2(x - \frac{1}{3})$$

Atau dapat dituliskan sebagai:

$$\boxed{y = -2x + \frac{17}{3}}$$