Tentukan nilai limit fungsi lim x-2 x² - 6x+8 (x²-4) (metode faktorisasi)!
Soal
Tentukan nilai limit fungsi lim x-2 x² - 6x+8 (x²-4) (metode faktorisasi)!
pembahasan
Diketahui:
Fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 4}$
Akan dicari nilai $\lim_{x\to 2} f(x)$ menggunakan metode faktorisasi
Fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 4}$
Akan dicari nilai $\lim_{x\to 2} f(x)$ menggunakan metode faktorisasi
Penyelesaian:
Kita faktorkan pembilang dan penyebut fungsi terlebih dahulu: $$f(x) = \dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x+2)}$$ Dapat dilihat bahwa faktor $(x-2)$ ada di pembilang dan penyebut sehingga dapat disederhanakan: $$f(x) = \dfrac{x-4}{x+2}$$ Sehingga dapat dicari nilai limit saat $x$ mendekati 2: $$\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+2}$$ Kita tidak bisa langsung substitusi nilai $x=2$ karena akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Turunkan baik pembilang maupun penyebut satu kali terlebih dahulu: $$\lim_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+2} = \lim_{x\to 2} \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x-4}{x+2}\right)$$ $$= \lim_{x\to 2} \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{(x+2) - (x-4)}{(x+2)^2}$$ $$= \lim_{x\to 2} \dfrac{6}{(x+2)^2}$$ Substitusi nilai $x=2$ akan menghasilkan: $$\lim_{x\to 2} f(x) = \dfrac{6}{(2+2)^2} = \dfrac{3}{4}$$ Jadi, nilai limit fungsi $f(x)$ saat $x$ mendekati 2 adalah $\dfrac{3}{4}$.
Kita faktorkan pembilang dan penyebut fungsi terlebih dahulu: $$f(x) = \dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x+2)}$$ Dapat dilihat bahwa faktor $(x-2)$ ada di pembilang dan penyebut sehingga dapat disederhanakan: $$f(x) = \dfrac{x-4}{x+2}$$ Sehingga dapat dicari nilai limit saat $x$ mendekati 2: $$\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+2}$$ Kita tidak bisa langsung substitusi nilai $x=2$ karena akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Turunkan baik pembilang maupun penyebut satu kali terlebih dahulu: $$\lim_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+2} = \lim_{x\to 2} \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x-4}{x+2}\right)$$ $$= \lim_{x\to 2} \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{(x+2) - (x-4)}{(x+2)^2}$$ $$= \lim_{x\to 2} \dfrac{6}{(x+2)^2}$$ Substitusi nilai $x=2$ akan menghasilkan: $$\lim_{x\to 2} f(x) = \dfrac{6}{(2+2)^2} = \dfrac{3}{4}$$ Jadi, nilai limit fungsi $f(x)$ saat $x$ mendekati 2 adalah $\dfrac{3}{4}$.