Sisa pembagian 5²⁰²² + 11²⁰²³ oleh 64 adalah​

Soal

Sisa pembagian 5²⁰²² + 11²⁰²³ oleh 64 adalah​

Untuk menghitung sisa pembagian $5^{2022}+11^{2023}$ oleh 64, kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut:

$$\begin{aligned} 5^{2022}+11^{2023} &= (5^2)^{1011} + (11^2)^{1011}\times 11 \\ &= (25)^{1011} + (121)^{1011}\times 11 \\ &= (24+1)^{1011} + (120+1)^{1011}\times 11 \\ &= \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k}24^{1011-k} + 11\sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k}120^{1011-k} \\ &= 24\times \left( \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k}24^{1011-k-1}\times 24 \right) + 11\times 64\left( \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k}120^{1011-k-1}\times 15 \right) + 11 \\ &= 24\times (25^{1011}-1) + 11\times 64(121^{1011}-1) + 11 \\ &= 24\times (5^{2022}-1) + 11\times 64(11^{2023}-1) + 11 \\ &= 24\times (5^{6\times 337}-1) + 11\times 64(11^{6\times 337}\times 11^{-1}-1) + 11 \\ &= 24\times (5^6-1) + 11\times 64(11^6\times 11^{-1}-1) + 11 \\ &= 24\times (15624) + 11\times 64(4665) + 11 \\ &= 374673 \end{aligned}$$

Sehingga sisa pembagian $5^{2022}+11^{2023}$ oleh 64 adalah 49.